Division euclidienne

Soit \(A, B\) deux Polynomes
On dit que \(B\) divise \(A\) (\(B \mid A\))
\[ \exists Q \in \mathbb{K}[X], A = B \times Q \]
On a alors \(deg(B) \le deg(A)\).
En règle générale on défini la division euclidienne de polynômes tel que :
\[ A,B \in \mathbb{K}[X], \exists! (Q, R), \{A= BQ +R, deg(R) < deg(B)\} \]
On appel irréductible un polynôme qui n'admet qu'exactement deux diviseurs unitaires.

• Dans \(\mathbb{R}[X]\), tout polynômes de \(deg(P) = 1\) ou \(deg(P) = 2, \Delta < 0\) est irréductible
• Dans \(\mathbb{C}\), seuls les polynômes de \(deg(P) = 1\) sont irréductibles.

On appel associés deux polynômes tel que \(A \mid B\) et \(B \mid A\). Il existe alors un réel \(\lambda\) tel que \(B = \lambda A\).

Racines

on appel \(a\) une racine de \(P\) si:
\[ \tilde P(a) = 0 \Leftrightarrow \exists Q, P=(X-a)Q \]
On dit qu'une racine est de multiplicité \(m\) (ou ordre) si
\[ \exists Q, P = (X-a)^m Q, Q(a) \ne 0 \]
Dans les faits, une racine est de multiplicité \(m\) si \(P^{(0 \to m-1)}(a) = 0, P^{(m)}(a) \ne 0\).
De la on obtiens que, soit un polynôme a \(n\) racines (donc \(deg(P) \ge n\)) qu'on note \(a_i\) avec \(i \in [\![1, n]\!]\), on peut donc factoriser \(P\).
\[ \displaystyle \begin{align} P &= (\prod_{i=0}^n (X-a_i)^{m_i}) \times Q \\ &= Q \times (X-a_1)^{m_1} (X-a_2)^{m_2}(X-a_3)^{m_3}... \end{align} \]

Si \(\mathbb{K} = \mathbb{C}\) et \(a\) est une racine, alors \(\overline a\) l'est aussi.

On dit que \(P\) est scindé si il peut s’écrire comme précédemment avec \(Q \in \mathbb{K}\).

Tout polynôme non constant sur \(\mathbb{C}\) est scindé

Relations coefficients-racines

Soit \(P = aX^2 + bX +c\), il existe \((\alpha_1, \alpha_2) \in \mathbb{R}^2\) tel que:
\[ P = a(X - \alpha_1)(X-\alpha_2) \]
On a alors a relation suivante :
\[ \displaystyle \left\{ \begin{array}{c} \alpha_1 + \alpha_2 = \frac{-b}{a} \\ \alpha_1 \alpha_2 = \frac{c}{a} \end{array} \right. \]